Irrtümliche Intuition bei Wahrscheinlichkeiten (II): Das „Ziege oder Auto“-Problem

Dieses von einem TV-Ratespiel in den USA inspirierte Problem begann vor 25 Jahren weltweit Aufmerksamkeit auf sich zu ziehen, die sich nicht auf Denksportfreunde beschränkt. Denn es gilt als Paradebeispiel für Fehlschlüsse unserer Intuition im Umgang mit (bedingten) Wahrscheinlichkeiten. Allerdings zeigt sich, dass ohne genaue Kenntnis des Spielprotokolls eine korrekte Problemlösung nicht möglich ist. Der Beitrag knüpft an die Veröffentlichung „Testen oder nicht testen?“ in Heft 4- 2016 an:

A. „Gesunder Menschenverstand“ vs. Marilyn vos Savant

Von 1963 bis 1990 hat der Fernsehmoderator Monty Hall die in den USA populäre Spielshow „Let´s Make a Deal“ präsentiert. Die Show motiviert im September 1990 einen Leser des Wochenmagazins Parade zu einem Brief an Marilyn vos Savant – im Magazin für die Kolumne „Ask Marilyn“ verantwortlich – mit der Bitte um Entscheidungshilfe bei dem folgenden Problem:

Kandidatin K sieht auf der Bühne eine Wand mit 3 geschlossenen Türen – No. 1, 2, 3. Moderator M erklärt ihr, dass sich hinter einer der drei Türen ein teures Cabriolet, der Gewinn C, verbirgt, hinter den beiden anderen Türen dagegen eine Niete in Gestalt einer Ziege(nattrappe). M – er weiß, hinter welcher Tür das Cabriolet C steht – bittet K, die Tür zu bezeichnen, hinter der K das Auto vermutet. K wählt #1, danach öffnet M #3 und eine Ziege wird sichtbar.1 Jetzt sagt M zu K: „Wollen Sie, um das Cabriolet zu gewinnen, bei #1 bleiben oder zu #2 (ebenfalls noch geschlossen – der Autor) wechseln?“

In ihrer Antwort rät Marilyn vos Savant – das „Guinness-Buch der Rekorde“, Ausgabe 1985, führt sie als die Frau mit dem höchsten jemals gemessenen IQ von 228 – unbedingt zum Türwechsel: er verdoppele die Gewinnchance von K! Dieser Ratschlag löst im Namen des „gesunden Menschenverstandes“ einen Sturm der Entrüstung aus: Marilyn erhält an die 10.000 Leserbriefe mit teilweise – gerade auch von Seiten mathematisch Gebildeter – beleidigendem Inhalt.2

Die Frage, wie dieses „Ziegen-“ oder „Monty-Hall-Problem“ korrekt zu lösen sei, wird gleichermaßen in „den Sitzungssälen der CIA und in den Baracken der Golfkrieg-Piloten debattiert. Sie wird von Mathematikern am Massachusetts Institute of Technology und von Programmierern am Los Alamos National Laboratory von New Mexiko untersucht und in über tausend Schulklassen des Landes analysiert“ (Tierney 1991). In Deutschland wird das Ziegenproblem durch „Die Zeit“ (Juli 1991) und ein gleichnamiges Buch (Randow 1992/2004) bekannt.

Über die seitdem beständig angewachsene Literatur informieren die einschlägigen deutschen und englischen Wikipedia-Beiträge sowie umfassend das Buch von Rosenhouse (2009).

Was sagt der „gesunde Menschenverstand“? Indem M #3 öffnet und sich eine Ziege zeigt, übermittelt er an K die Information, dass von den noch geschlossenen Türen, #1 und #2, eine die zweite Z-Tür und eine die C-Tür sein muss.3 Nach dem sog. Indifferenzprinzip sei es deshalb gleich wahrscheinlich, dass #1 oder #2 die C-Tür ist. Dieser „Fifty-fifty“-Logik folgend, könne K bei ihrer Erstwahl #1 bleiben und erhöht ihre Gewinnwahrscheinlichkeit durch Türwechsel nicht.

Dafür, dass bei Experimenten mit dem Ziegenproblem4 die große Mehrzahl der Probanden die Option „Bleiben“ bevorzugt, haben übrigens Psychologen noch eine eigene Erklärung: Ein Verlust (= Nichtgewinn von C) werde leichter verschmerzt, wenn er aus einem Nichthandeln (= Festhalten an #1, falls #2 die C-Tür ist) und nicht aus einem Handeln (= Türwechsel, falls die Erstwahl #1 die C-Tür ist) resultiert.

Wie begründet Marilyn vos Savant die Vorteilhaftigkeit des Türwechsels? Sinngemäß argumentiert sie wie folgt: Man stelle sich 100 (statt nur 3) geschlossene Türen vor und K habe #1 gewählt. In diesem Stadium des Spiels muss K schließen, dass die C-Tür entweder #1 ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/100 oder mit einer Wahrscheinlichkeit von 99/100 eine der 99 Türen #2 bis #100.

Jetzt beobachtet K, wie M der Reihe nach die Türen von #2 bis #100 mit Ausnahme von #77 öffnet und sich jedes Mal eine Ziege zeigt. Diese Information, welche 98 der 99 von ihr nicht gewählten Türen Z-Türen sind, sollte K zu folgendem Schluss führen: Die Gesamtheit der 99 Türen von #2 bis #100 war vor der Aktion des M mit einer Wahrscheinlichkeit von 99/100 belegt, dass eine von ihnen die C-Tür ist. Die Aktion des M hat 98 dieser Türen „aussortiert“, sodass danach die Wahrscheinlichkeitsmasse von 99/100 ganz auf #77 liegt, die M nicht geöffnet hat. Mit anderen Worten, #77 ist jetzt 99 mal wahrscheinlicher die C-Tür als #1, die Erstwahl von K. Deshalb ist Türwechsel von #1 zu #77 für K vorteilhaft. Entsprechendes gilt im 3-Türen-Fall: Hat K zuerst #1 gewählt und M danach #3 als Z-Tür geöffnet, verdoppelt K ihre Gewinnchance von 1/3 auf 2/3, wenn sie von #1 zu #2 wechselt.

Diese Argumentation hat jedoch, wie oben berichtet, viele nicht überzeugt. Manche sehen eine Möglichkeit, die Vorteilhaftigkeit des Türwechsels überzeugender darzustellen, in einem „frequentistischen“ Experiment5: Man kann es wie in Fußnote 4 angegeben arrangieren und beispielsweise jeweils 100 Mal mit bzw. ohne Wechselentscheidung von K durchführen. Man wird dann beobachten, dass K mit Türwechsel etwa doppelt so häufig C gewinnt als mit Beibehalten der zunächst gewählten Tür. Wer dem „Beweis durch Experiment“ misstraut6, wird sich eher von einer in der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie begründeten Berechnung bestimmter bedingter Wahrscheinlichkeiten überzeugen lassen wie es der folgende Abschnitt zeigt.

B. Das Spielprotokoll strukturiert den Zufall

Spielprotokoll heißt die von M festgelegte Abfolge der einzelnen Schritte des Ratespiels. Das sog. Standard-Protokoll S des „Ziege oder Auto“-Spiels sieht diese vier aufeinander folgenden Schritte vor:

(S1) Unbeobachtet von K platziert M den Gewinn C „auf gut Glück“ hinter einer von 3 geschlossenen Türen. „Auf gut Glück“ heißt, dass jede Tür mit gleicher Wahrscheinlichkeit (1/3) die C-Tür ist.

(S2) K wählt auf gut Glück eine der 3 geschlossenen Türen – diese Tür wird die „Erstwahl“ von K genannt und bleibt vorerst geschlossen.

(S3) M muss eine Tür öffnen: diese Tür darf weder die Erstwahl von K noch die C-Tür, sie wird folglich eine Z-Tür sein.

(S4) M räumt K die Option des Türwechsels ein: die „Zweitwahl“ von K besteht somit darin, entweder bei ihrer Erstwahl zu bleiben oder zu der anderen, ebenfalls noch geschlossenen, Tür zu wechseln. Nun öffnet M die Tür ihrer Zweitwahl und K erblickt entweder das Cabriolet oder eine Ziege.

Wie strukturiert das Standard-Protokoll den Zufall? Bezeichnet Ci das Ereignis „#i ist die C-Tür“, dann tritt in (S1) eines der einander wechselseitig ausschließenden Ereignisse Ci (i [ {1, 2, 3}) ein. Die drei Ereignisse Ci sind gleichwahrscheinlich, also7 P(C1) = P(C2) = P(C3) = 1/3. Aus der Sicht von K ist P(Ci) = 1/3 die „a-priori“-Wahrscheinlichkeit, dass #i den Gewinn C verbirgt: Lateinisch „a priori“ bedeutet „vorweg“, nämlich bevor K mehr Information erhält, welche Tür die C-Tür sein könnte. In (S2) wählt K auf gut Glück eine der 3 geschlossenen Türen; ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird im Folgenden angenommen, dass die Erstwahl von K auf #1 fällt. In (S3) ist wieder M am Zug: Er muss, wie in (S3) erklärt, eine Z-Tür öffnen, aber es darf nicht die Erstwahl von K sein. In diesem Stadium des Spiels liegt eine ganz bestimmte Konfiguration (C, K, M) von Türen vor: die Tür, welche C verbirgt, die Erstwahl von K und die Tür, welche M geöffnet hat. Angenommen, K beobachtet, dass M #3 öffnet. Das Ereignis M3: „M öffnet #3“ teilt K mit, dass offensichtlich #3 nicht die C-Tür ist. Wie kann K die „a-posteriori“-Wahrscheinlichkeiten P(C1|M3) und P(C2|M3) einschätzen, dass entweder #1 oder #2 den Gewinn C verbirgt, gegeben das Ereignis M3 ist eingetreten? Lateinisch „a posteriori“ bedeutet, dass K diese Einschätzung vornimmt, nachdem sie das Ereignis M3 beobachtet hat. Welche dieser beiden a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten ist die größere oder sind sie gleich groß? Die Antwort auf diese Frage entscheidet darüber, ob Türwechsel für K vorteilhaft ist oder nicht.

Das geeignete mathematische Werkzeug, um die a-posteriori-Wahrscheinlichkeit P(Ci|M3) zu bestimmen, ist die Formel von Bayes8:

P(Ci ` M3) ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl das Ereignis Ci („#i ist die C-Tür“) als auch das -Ereignis M3 („M3 öffnet #3“) eintritt. Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich dem Produkt aus der a-priori-Wahrscheinlichkeit P(Ci) und der bedingten Wahrscheinlichkeit P(M3|Ci). Weil die Ereignisse Ci einander wechselseitig ausschließen und alle Möglichkeiten, die C-Tür zu sein, erschöpfen, tun dies auch die Ereignisse Ci ` M3. Die Wahrscheinlichkeiten P(Ci ` M3) summieren sich zur sog. totalen Wahrscheinlichkeit P(M3) des Öffnens von #3 durch M. K kann, wie oben erklärt, P(Ci) = 1/3 für alle i annehmen. Gelten die Regeln des Standardprotokolls, kann K aus der Beobachtung, dass das Ereignis M3 eingetreten ist, die folgenden Schlüsse ziehen: Sicherlich ist P(M3|C3) = 0, denn wäre #3 die C-Tür gewesen, hätte M sie gemäß (S3) nicht öffnen dürfen. Von den beiden noch geschlossenen Türen –  #1 und #2 – ist eine die zweite Z-Tür, die andere die C-Tür und deshalb bestehen für #1, die Erstwahl von K, genau zwei Möglichkeiten: (1) #1 ist eine Z-Tür, also #2 dann die C-Tür; in diesem Fall musste M gemäß (S3) die andere Z-Tür, nämlich #3, öffnen, folglich ist P(M3|C2) = 1. (2) #1 ist die C-Tür; in diesem Fall hatte M die Wahl zwischen den beiden Z-Türen, #2 und #3, und entschied sich für #3. Allerdings sagt das Standard-Protokoll in (S3) nichts darüber aus, welche Überlegungen oder -Motive M bei der Türwahl leiten. Angenommen, K mutmaßt, dass M die zu öffnende Z-Tür nach Nummernhöhe auswählt und mit einer positiven Wahrscheinlichkeit p die Z-Tür mit der höheren Nummer, also #3, öffnet; dann ist P(M3|C1) = p. Die totale Wahrscheinlichkeit P(M3) entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten P(Ci`M3), also folgt nach dem oben zu Formel (*) Ausgeführten: P(M3) = oiP(Ci) · P(M3|Ci) = (1/3) · p + (1/3) · 1 + (1/3) · 0 = (1/3)(p + 1). Jetzt sind alle Elemente beisammen, um die a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten P(Ci|M3), dass #i die C-Tür ist, vorausgesetzt M öffnet #3, mittels der Bayes’schen Formel (*) berechnen zu können. Nach dieser Formel ist P(Ci|M3) gleich dem (relativen) Anteil von P(Ci`M3) an der totalen Wahrscheinlichkeit P(M3). Es ergibt sich

und P(C3|M3) = 0/(p + 1) = 0. Um die Größe von P(C2|M3) konkret einschätzen zu können – P(C1|M3) ist dann einfach 1 – P(C2|M3) – muss K eine zutreffende Mutmaßung über den Wert von p anstellen, den das Standardprotokoll in das Belieben von M stellt. Es seien zwei Varianten betrachtet: (a) p = 1/2, d. h. M entscheidet durch Wurf einer fairen Münze, welche Z-Tür er öffnet. Dann ist nach Formel (§) und (§§): P(C1|M3) = (1/2) / (3/2) = 1/3 und P(C2|M3) = 2/3 – mit Türwechsel von #1 zu #2 verdoppelt K ihre Gewinnchance. Mit derselben Argumentationslogik zeigt man für den Fall, dass M #2 anstelle von #3 geöffnet hat: P(C1|M2) = 1/3 und P(C3|M2) = 2/3 – wiederum verdoppelt Türwechsel die Gewinnchance von K. (b) p = 1, d. h. M hat die etwas exotische Vorliebe, bei Wahlmöglichkeit immer die Z-Tür mit der höheren Nummer zu öffnen. Bei dieser Variante liefern die Formeln (§) und (§§): P(C1|M3) = 1/2 = P(C2|M3) – Türwechsel zu #2 erscheint für K gleich vorteilhaft wie Bleiben bei der Erstwahl #1, das Öffnen von #3 durch M ist für K nicht informativ hinsichtlich ihrer Entscheidung zwischen #1 und #2. Wenn hingegen M #2 anstelle von #3 öffnet, übermittelt dies eine unmissverständliche Botschaft: M hat deswegen seine Vorliebe für #3 nicht verwirklichen können, weil #3 die C-Tür ist – folglich muss K jetzt zu #3 wechseln, denn damit gewinnt sie das Cabriolet sicher!

Zum Schluss wird die Protokollvariante R („random“) vorgestellt: Bei ihr darf M eine Z-Tür zufällig (p = 1/2) auch dann öffnen, wenn sie zuvor von K gewählt worden ist – dagegen gibt es gemäß (S3) im Standardprotokoll eine Wahlmöglichkeit zwischen den beiden Z-Türen für M immer nur dann, wenn die Erstwahl von K auf die C-Tür gefallen ist. Öffnet nun M zufällig die von K zuerst gewählte Z-Tür, dann sieht das Protokoll R vor, dass M der K eine Zweitwahl zwischen den beiden noch geschlossenen Türen erlaubt. Es ist eine gute Übung, mittels der oben ausgeführten Bayes‘schen Analyse für die Situation „K wählt zuerst #1, M öffnet danach #3“ zu zeigen, dass sich bei Geltung von Protokoll R ergibt: P(C1|M3) = 1/2 = P(C2|M3). A posteriori ist jetzt also die Gewinnwahrscheinlichkeit für beide noch geschlossenen Türen (#1 und #2) gleich hoch – das ist (siehe Abschnitt A) aber gerade die „Fifty-fifty“-Lösung des „gesunden Menschenverstands“!

C. Diskussion

Führt M das „Ziege oder Auto“-Spiel nach Variante (a) [p = 1/2] des Standardprotokolls S durch, erzielt K bei jeder der 12 möglichen Konfigurationen (C, K, M)9 durch Türwechsel eine a-posteriori-Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3. Dasselbe trifft im Schnitt auch für die 9 möglichen Konfigurationen der Variante (b) [p = 1] des Standardprotokolls zu: Bei dieser Variante ist der Türwechsel nur bei 6 Konfigurationen mit Unsicherheit belastet, d. h. selbst bei diesem „Minimum“ an Unsicherheit kann durch Türwechsel die a-posteriori-Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 im Schnitt nicht übertroffen werden10 (Gill 2011). Dagegen hat K bei den 18 möglichen Konfigurationen, wenn nach der Variante R gespielt wird11, durch -Türwechsel keinen Vorteil, allerdings auch keinen Nachteil; denn wie immer sie sich entscheidet, die a-posteriori-Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt unterschiedslos 1/2. Soll K durch Türwechsel eine Gewinnwahrscheinlichkeit a zwischen 1/2 und 2/3 erreichen, kann M dies gewährleisten, indem er durch einen Zufallsmechanismus bestimmen lässt, dass das Standardprotokoll S [Variante (a) oder (b)] mit Wahrscheinlichkeit b = 6a – 3 und die Variante R mit Wahrscheinlichkeit 1 – b zur Anwendung kommt.12

Bei allen bisher erörterten Protokollvarianten wird ers-tens das Spiel niemals nach der Erstwahl von K beendet und ist zweitens Türwechsel niemals die schlechtere, vielfach die bessere Strategie für K als bei der Erstwahl zu bleiben. Beim folgenden Protokoll T („thrifty“), das in den Schritten (S3) und (S4) wesentlich vom Standardprotokoll abweicht,  ist das anders: Weil seine Produktionsfirma möglichst wenige Cabriolets an Kandidat(in)en „verlieren“ will, öffnet M bereits die von K zuerst gewählte Tür immer dann, wenn es eine Z-Tür ist und K hat verloren. Fällt die Erstwahl von K auf die C-Tür, versucht M, indem er eine Z-Tür öffnet, K zum Türwechsel zu verleiten. Falls K richtig mutmaßt, dass M nach Protokoll T verfährt, sollte sie niemals die Tür wechseln und sichert sich damit eine a-posteriori-Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3. Eher theoretisch ist aber auch eine sehr großzügige Produktionsfirma denkbar, die M nach dem Protokoll L („lavish“) verfahren lässt: Fällt die Erstwahl von K auf die C-Tür, öffnet M diese Tür und K hat gewonnen. Andernfalls öffnet M die andere Z-Tür mit der Absicht, K zum Türwechsel zu bewegen. Falls K richtig mutmaßt, dass M nach Protokoll L verfährt, sollte sie bei der Zweitwahl immer die Tür wechseln und gewinnt dann das Cabriolet mit Sicherheit.

Als Denksportaufgabe kann das „Ziege oder Auto“-Problem korrekt nur gelöst werden, wenn das Spielprotokoll im Einzelnen bekannt ist. In der Vergangenheit hatten unterschiedliche Lösungen und hitzige Debatten darüber ihre hauptsächliche Ursache meist darin, dass eine vorgegebene Formulierung des Problems sprachlich nicht genügend präzise war und deshalb Raum für unterschiedliche Interpretationen bot (Steinbach 2000). Eine Kandidatin K, die – nach Erstwahl einer Tür – sieht, dass der Moderator M eine Z-Tür öffnet, befindet sich in einer einmaligen Situation, die als solche keinen Anhaltspunkt bietet, nach welchem Protokoll M gerade dieses Spiel ablaufen lässt: Die Ungewissheit darüber macht nicht zuletzt die Spannung der Spielshow für das Publikum aus. K kann nur mutmaßen, welches Protokoll vorliegt und – falls sie sich nach Art eines Denksportlers vorbereitet hat – nach Maßgabe ihrer Mutmaßung sich für den Türwechsel oder dagegen entscheiden. K könnte aber auch auf die unvermeidlich spekulative Mutmaßung über das gerade vorliegende Protokoll verzichten und ihre Entscheidung allein vom Ergebnis eines Münzwurfs abhängig machen – das wäre dann doch wieder die „Fifty-fifty“-Lösung des gesunden Menschenverstands!

Anmerkungen

1 Das Zeichen „#“ bedeutet hier und im Folgenden „Tür Nummer…“.

2 Universitätsmathematiker lassen Marilyn vos Savant wissen, ihre „logic is in error“, ihre Begründung (siehe später im Text) sei „utterly incorrect“ und – als Gipfel der Schmähkritik – „you are the goat“ (Tierney 1991).

3 „Z-„ bzw. „C-Tür“ steht hier und im Folgenden für „Tür, hinter der sich eine Ziege bzw. das Cabriolet verbirgt“.

4 Ein solches Experiment lässt sich auch im eigenen Wohnzimmer durchführen, indem 3 geschlossene Schachteln auf einem Tisch die Rolle der 3 Türen übernehmen: in einer Schachtel verbirgt sich ein „Geschenk“, die beiden anderen Schachteln sind leer. In dieser Gestalt hat der Biostatistiker Steve Selvin das Ziegenproblem unter dem von ihm kreierten Namen „Monty Hall-Problem“ bereits 1975 in The American Statistician vorgestellt und eine wahrscheinlichkeitstheoretisch korrekte Lösung (siehe unten Abschnitt B) angegeben (Gorroochurn 2012, Kap. 32.1).

5 „Frequentistisch“ bedeutet, dass man aus der (relativen) Häufigkeit des Auftretens der Ergebnisse Gewinn bzw. Nichtgewinn von C deren Wahrscheinlichkeit ableitet.

6 Auch der berühmte jüdisch-ungarische Mathematiker und notorische Kaffeetrinker Paul Erdös (1913-1996) konnte vos Savants Wechselempfehlung nicht nachvollziehen (Gorroochurn 2012, S. 268) und akzeptierte nur widerwillig einen „Beweis durch Experiment“. Er wollte einen mathematischen Satz mit stichhaltigem Beweis gemäß dem ihm zugeschriebenen Bonmot: „Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in mathematische Sätze verwandelt“.

7 Hier und im Folgenden steht der Buchstabe P für Wahrscheinlichkeit in Anlehnung an das begriffsgleiche Wort „probability“.

8 Die Formel von Bayes – sie entspricht dem Ausdruck nach dem letzten Gleichheitszeichen in (*) – findet sich in jedem Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung und wurde eingehend in Teil I dieses Artikels behandelt. Das Zeichen „`“ steht für „und“.

9 M hat in Phase (S1) 3 Möglichkeiten, die C-Tür auszuwählen. Trifft K in Phase (S2) die C-Tür, hat M in Phase (S3) zwei Möglichkeiten, eine Z-Tür zu öffnen; trifft K eine Z-Tür, muss M die andere Z-Tür öffnen. Also gehören zu jeder der 3 möglichen C-Türen insgesamt 4 Möglichkeiten von M, in (S3) eine Z-Tür zu öffnen. Deshalb gibt es insgesamt 4 × 3 = 12 mögliche Konfigurationen (C, K, M) beim Standardprotokoll S, Variante a.

10 Hier fällt, wenn K bei ihrer Erstwahl die C-Tür trifft, eine der beiden Wahlmöglichkeiten von M weg, denn M öffnet immer nur die Z-Tür mit der höheren Nummer. Deshalb gibt es hier lediglich 3 × 3 = 9 mögliche Konfigurationen (C, K, M). Bei insgesamt 3 (also einem Drittel) dieser Konfigurationen bringt Türwechsel den Gewinn C sicher, wie im Text beispielhaft für die Konfiguration (#3, #1, #2) erklärt; die beiden anderen Konfigurationen sind (#3, #2, #1) und #2, #3, #1). Bei insgesamt 6 (also zwei Dritteln der) Konfigurationen bringt Türwechsel den Gewinn C mit Wahrscheinlichkeit 1/2, wie beispielhaft in Abschnitt B gezeigt wurde. Also beträgt die a-posteriori-Gewinnwahrscheinlichkeit bei Türwechsel „im Schnitt“ (1/3) · 1 + (2/3) · 1/2 = 2/3.

11 Hier hat M – im Unterschied zum Standardprotokoll – auch dann die Wahlmöglichkeit, welche Z-Tür er öffnet, wenn die Erstwahl von K auf eine Z-Tür gefallen ist. Deshalb gibt es hier 3 × 6 = 18 Konfigurationen (C, K, M).

12 Das sieht man so: Aus der Gleichung (2/3) · b + (1/2) · (1 – b) = a folgt b = 6a – 3.

Literatur

Gill, R. D. (2011): The Monty Hall Problem. http.//www.math.leidenuniv.nl/~gill.

Gorroochurn, P. (2012): Classic Problems of Probability. Hoboken, NJ : John Wiley.

Randow, G. v. (1992/2004): Das Ziegenproblem. Reinbek: Rowohlt.

Rosenhouse, J. (2009): The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math’s Most Contentious Brain Teaser. Oxford, New York: Oxford University Press.

Steinbach, M. C. (2000): Autos, Ziegen und Streithähne, Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin.

Tierney, J. (1991): Behind Monty Hall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer? New York Times vom 21.7.1991.

Autoren:

  • Dr. Rupert Windisch