Messung von Verteilungsungleichheit

Ausgabe_1_2010_009Fragen im Zusammenhang mit der Einkommens- und Vermögensverteilung auf Haushalte bzw. Personen beanspruchen sowohl empirisch als auch politisch große Aufmerksamkeit. Dieser Beitrag verfolgt das methodische Anliegen, grundlegende Kenntnisse zu vermitteln, wie die Ungleichheit einer Einkommensverteilung im Vergleich zur Ungleichheit einer anderen Einkommensverteilung gemessen werden kann. Für die Vermögensverteilung gilt die Verfahrensweise analog. Auf Ursachen von Verteilungsungleichheit und empirische Befunde wird nicht näher eingegangen.

Ziele und Voraussetzungen der Ungleichheitsmessung

Die Aufteilung des Volkseinkommens auf die Produktionsfaktoren, die es hervorgebracht haben und zusammenfassend als „Arbeit“ bzw. als „Kapital“ bezeichnet werden, kennzeichnet die sog. funktionale Einkommensverteilung. Die funktionale Einkommensverteilung bzw. ihre Veränderung im Zeitablauf lässt keine Rückschlüsse auf die personelle Einkommensverteilung zu, d. h. darauf, wie sich das Volkseinkommen auf Haushalte oder Personen verteilt bzw. sich diese Verteilung im Zeitablauf verändert hat, namentlich ob sie „gleicher“ oder „ungleicher“ geworden ist. Als Primärverteilung bezeichnet man die personelle Verteilung der Markteinkommen (Löhne, Gewinne, Zinsen, Pachten, Nettomieten und andere Kapitaleinkünfte). Durch Übertragungen an den Staat in Form u. a. von direkten Steuern und Beiträgen zu den Sozialversicherungen einerseits sowie Transferzahlungen des Staates (einschließlich der Sozialversicherungen) an die privaten Haushalte andererseits entsteht aus der Primär- die sog. Sekundärverteilung: die Verteilung der verfügbaren Einkommen auf Personen bzw. Haushalte.

Die Aussage, eine bestimmte Verteilung der persönlichen Einkommen sei im Vergleich zu einer anderen stärker oder schwächer ungleich, kann in verschiedenen Zusammenhängen wichtig sein. Beispielsweise will man im Hinblick auf die umverteilende Wirksamkeit öffentlicher Haushalte wissen, in welchem Maße bestimmte Steuern und staatliche Transfers die Ungleichheit der Verteilung der persönlichen Markteinkommen vermindern. Die Feststellung, dass die 5 % der Einkommenssteuerpflichtigen in der höchsten Einkommensklasse rd. 46 % des deutschen Einkommenssteueraufkommens aufbringen, während ihr Anteil am Gesamtbetrag des zu versteuernden Einkommens nur 28 % beträgt, ist bedeutsam für die wertende (politische) Betrachtung der Steuerlastverteilung (Stichwort: vertikale Steuergerechtigkeit).

Messung der Ungleichheit der Verteilung der persönlichen Einkommen bedeutet, eine Maßzahl I(Y) derart zu konstruieren, dass I(Y) > I(Y‘) genau dann gilt, wenn die Einkommensverteilung Y als stärker ungleich angesehen wird als die Einkommensverteilung Y‘. Es geht also um die Messung relativer Ungleichheit. Ferner wird I üblicherweise so normiert, dass 0 ≤ I ≤ 1 ist, I = 0 den – praktisch nie vorkommenden – Zustand absoluter Gleichverteilung der persönlichen Einkommen bedeutet und I = 1 den – ebenfalls hypothetischen – Zustand maximaler Ungleichheit, in dem sich jegliches Einkommen bei nur einem Empfänger konzentriert. Als die Einheit, welche Einkommen bezieht und darüber verfügt, wird im Folgenden das Individuum angesehen. Die Bedeutung der Tatsache, dass in einem Mehr-Personen-Haushalt typischerweise „gemeinsam“ über das dem Haushalt zuzurechnende Einkommen verfügt wird, kommt am Ende dieses Beitrags zur Sprache.

Die Aussagekraft eines Ungleichheitsmaßes I hängt wesentlich von grundlegenden Voraussetzungen oder Prinzipien seiner Konstruktion ab. Vier Voraussetzungen sind besonders hervorzuheben.

(V 1) Prinzip der Anonymität: Es zählt die Tatsache, dass eine Person ein Einkommen bestimmter Höhe empfängt, nicht aber, welche Person – ob A, B oder C – dieses Einkommen bezogen hat. Als Konsequenz dieser Voraussetzung wird eine bestimmte Verteilung der persönlichen Einkommen in einer Population von n Individuen vollständig durch eine geordnete Liste Y = {y1, y2, …,yn} beschrieben, wobei die Ordnung durch y1 ≤ y2 … ≤ yn hergestellt wird. In dieser Liste sind also die Einkommen – bei Anonymität ihrer Empfänger – aufsteigend nach ihrer Höhe geordnet.

(V 2) Prinzip der relativen Populationsanteile: Wenn man für jede Einkommenshöhe yi die Anzahl der Personen, welche dieses Einkommen beziehen, mit demselben Faktor vervielfacht, lässt dies das Ungleichheitsmaß I unverändert. Folglich ist allein der relative Anteil der Personen, die ein bestimmtes Einkommen beziehen, an der Population erheblich, nicht deren absolute Zahl.

(V 3) Prinzip der relativen Einkommenshöhe: Wird in der Verteilung Y = {y1, y2,…, yn} jedes Einkommen yi mit demselben Prozentsatz verändert, hat dies keinen Einfluss auf das Ungleichheitsmaß I. Beispielsweise ergibt sich dann für die 2-Personen-Verteilungen Y = {200; 500} und Y‘ = {20.000; 50.000} jeweils derselbe Wert von I.

(V 4) Transferprinzip nach Pigou und Dalton: Eine positive Einkommensübertragung (Transfer) D von Person i an Person j heißt regressiv (progressiv), falls der Transfer von einer ärmeren (reicheren) zu einer reicheren (ärmeren) Person erfolgt. Ein Ungleichheitsmaß I erfüllt das nach (den englischen Nationalökonomen) Pigou und Dalton benannte Transferprinzip, falls ein regressiver (progressiver) Transfer von einer Person i an eine Person j derart, dass die Ordnungspositionen (i und j) dieser Personen in der Einkommensverteilung unverändert bleiben, I zunehmen (abnehmen) lässt.

Heft 1_2010 Lorenzkurven

Lorenzkurve

Es sei ak = k/n der relative Anteil der Individuen in der Population, die über ein Einkommen bis zur Obergrenze yk verfügen, und Ly(k/n) = Σ ki = 1 yi / Σni = 1 yj der relative Anteil der Einkommen dieser k Personen am Gesamteinkommen aller n Personen. Auf der Grundlinie eines Einheitsquadrats (Seitenlänge gleich 1) werden die kumulierten relativen Anteile der Einkommensbezieher (ak = k/n) an der Gesamtpopulation, auf der Höhe des Einheitsquadrats die kumulierten relativen Anteile (Ly(k/n)) am Gesamteinkommen gemessen, und zwar jeweils als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 (z. B. 0,4 für 40 %). Setzt man (a0; Ly(0/n)) =: (0,0) und trägt ferner die Punkte (ak; Ly(k/n)) (k = 1,…, n) in dem Einheitsquadrat ein, dann wird der Streckenzug, der diese Punkte mit dem Nullpunkt (0,0) beginnend sukzessiv verbindet, die Lorenzkurve zur Einkommensverteilung Y genannt. Diese grafische Darstellung der Einkommensschichtung geht auf den amerikanischen Statistiker M. O. Lorenz (Methods of Measuring the Concentration of Wealth, Publications of the American Statistical Association, Vol. 9 [1905], S. 209 – 219) zurück.

Abbildung 1 zeigt drei Lorenzkurven. Die mit L1 bezeichnete Lorenzkurve stellt beispielsweise dar, dass 40 % (60 %) der Einkommensbezieher über 8 % (25 %) des gesamten Einkommens aller Einkommensbezieher verfügen. Im Fall der Lorenzkurve L2 verfügen 40 % (60 %) der Einkommensbezieher über 21 % (37 %) des Gesamteinkommens. Mit Ausnahme der linken unteren bzw. rechten oberen Ecke des Einheitsquadrats liegt L2 links von L1 und damit näher an der Gleichverteilungslinie. Dies zeigt anschaulich, dass die durch L2 dargestellte Einkommensverteilung Y2 eindeutig weniger ungleich ist als die durch L1 dargestellte Verteilung Y1. Man erwartet in diesem Fall von einem aussagekräftigen Ungleichheitsmaß I(Y), dass I(Y2) kleiner als I(Y1) ist. Ein Ungleichheitsmaß mit dieser Eigenschaft heißt Lorenzkonsistent. Es lässt sich zeigen, dass ein Ungleichheitsmaß I(Y) genau dann Lorenz-konsistent ist, wenn es die Voraussetzungen (V 1) bis (V 4) erfüllt.

Die in Abbildung 1 durch die Lorenzkurve L3 dargestellte Einkommensverteilung Y3 ist nach dem eben Ausgeführten zweifellos ungleicher als die durch L2 dargestellte Einkommensverteilung Y2.1 Weil die Lorenzkurven L3 und L1 einander schneiden, kann anhand ihres Verlaufs grafisch jedoch nicht festgestellt werden, ob Y1 weniger ungleich ist als Y3 oder umgekehrt2. Um relative Verteilungsungleichheit im Fall einander schneidender Lorenzkurven zu beurteilen, sollte man verschiedene Ungleichheitsmaße berechnen und sich bewusst sein, dass sie zu widersprüchlichen Feststellungen führen können. Eine einfache Vergleichsmöglichkeit besteht in der Bildung von Quintils- bzw. Dezilsquotienten: Damit kann man beispielsweise angeben, über das Wievielfache des gesamten Nettoeinkommens der Personen im niedrigsten Fünftel (Zehntel) die Personen im höchsten Fünftel (Zehntel) einer gegebenen Einkommensverteilung verfügen. Das gebräuchlichste Ungleichheitsmaß, um die gesamte Einkommensverteilung erfassen und für beliebig vorgegebene Einkommensverteilungen eine vollständige Ordnung unter dem Gesichtspunkt ihrer Ungleichheit herstellen zu können, ist der Gini-Koeffizient.

Gini-Koeffizient

Der Gini-Koeffizient G einer bestimmten Einkommensverteilung ist das Verhältnis der Fläche F, die von der Gleichverteilungslinie und der Lorenzkurve jener Einkommensverteilung begrenzt wird, zur Dreiecksfläche unter der Gleichverteilungslinie, also G = F/(0,5) = 2F. Es ist 0 ≤ G ≤ 1; G = 0 bedeutet Gleichverteilung. G = 1 bedeutet maximale Ungleichverteilung, d. h. Konzentration allen Einkommens bei einem Individuum. Der Gini-Koeffizient ist benannt nach dem italienischen Statistiker Corrado Gini (Variabilitá e mutabilitá, Bologna 1912). Zur praktischen Berechnung lässt sich der Gini-Koeffizient G mittels der Formel

G = n + 1 –    2    (ni = 1 yi (n + 1 – i)       (1)
n        n2 y

darstellen, wobei y den arithmetischen Mittelwert der Individualeinkommen angibt. Am zweiten Term rechts kann man ablesen, dass G dem Individualeinkommen yi ein umso höheres Gewicht gibt, je niedriger es ist, denn desto niedriger ist seine Ordnungszahl i. Eine äquivalente Darstellung des Gini-Koeffizienten ist

G =    1    (ni = 1 (nj = 1 |yi – yj| (2)
2n2 y

In dieser Darstellung – sie hat n · n = n2 Terme – ist G gleich der Hälfte des arithmetischen Mittels der Absolutwerte (Beträge) der Differenzen zwischen allen möglichen Paaren von Individualeinkommen im Verhältnis zum Durchschnittseinkommen y. Diese Darstellung zeigt, dass G eine Konzentration der Ungleichheitsmessung allein auf das Durchschnittseinkommen y vermeidet, wie dies bei dem Ungleichheitsmaß

(ni = 1 |y – yi|
D =         (3)
2 (n – 1)  y

der Fall ist, welches als relative mittlere Abweichung (relative mean deviation) bezeichnet wird. Es ist, wie man leicht nachrechnet, 0 ≤ D ≤ 1. Der Leser kann durch ein selbstgewähltes Beispiel nachprüfen, dass das Ungleichheitsmaß D nicht in jedem Fall, sondern nur dann dem Pigou-Daltonschen Transferprinzip genügt, wenn die Einkommen der beiden von dem Einkommenstransfer betroffenen Haushalte mit Bezug auf das mittlere Einkommen y auf derselben Seite liegen, d. h. entweder beide kleiner oder beide größer als y sind.

Dagegen genügt der Gini-Koeffizient jedenfalls dem Pigou-Daltonschen Transferprinzip: Wird beispielsweise Einkommen im Betrag D von dem reicheren Haushalt j an den ärmeren Haushalt i übertragen (progressiver Transfer), sodass die Ordnungsposition der beiden Haushalte unverändert bleibt, dann nimmt gemäß Formel (1) der Gini-Koeffizient um

ΔG =  2  (j – i) D> 0            (4)

n2 y

ab und erfüllt damit das Pigou-Daltonsche Transferprinzip. Für die Veränderung von G pro transferierter Geldeinheit kommt es gemäß (4) ausschließlich auf die Differenz der Ordnungspositionen j und i an, d. h. auf die Zahl der Haushalte, die eine Einkommensposition zwischen den beiden betrachteten Haushalten einnehmen: Ein gleich hoher Transfer zwischen den Haushalten mit den Ordnungspositionen i = 100 und j = 150 bzw. i = 10100 und j = 10150 hat also dieselbe Wirkung auf G. Man mag es freilich als wünschenswert ansehen, dass ein Ungleichheitsmaß stärker auf Einkommensverschiebungen im unteren Einkommensbereich reagiert. Der Gini-Koeffizient reagiert jedoch vergleichsweise stärker auf Einkommensverschiebungen im mittleren Einkommensbereich, der typischerweise mit sehr vielen Personen nicht zu stark unterschiedlich hoher Einkommen besetzt ist. Diese Bemerkung muss als Hinweis darauf genügen, dass einem bestimmten Ungleichheitsmaß in u. U. subtiler Weise implizite Wertungen zugrunde liegen, die deutlich zu machen sind, um die Aussagekraft des Ungleichheitsmaßes richtig einschätzen zu können.

Aus der geometrischen Interpretation des Gini-Koeffizienten als Fläche F zwischen Gleichverteilungslinie und Lorenzkurve der betrachteten Verteilung folgt, dass allen Lorenzkurven und den entsprechenden unterschiedlichen Verteilungen, für die sich derselbe Flächeninhalt F ergibt, der gleiche Gini-Koeffizient zugeordnet ist. Es existiert somit keine eindeutige Zuordnung zwischen einem Gini-Koeffizienten und einer bestimmten Einkommensverteilung.

Für die Bundesrepublik Deutschland hat sich, was die realen – in Preisen von 2005 gemessenen – Markteinkommen und Renten der privaten Haushalte (Äquivalenzeinkommen) betrifft, auf der Basis des SOEP3 der Gini-Koeffizient zwischen 1993 und 2006 von 0,334 auf 0,396 erhöht, für die Haushaltsnettoäquivalenzeinkommen von 0,267 auf 0,309 (Statistisches Bundesamt 2008, S. 164). Die Einkommens-ungleichheit hat also zugenommen, aber die Zunahme wurde durch Staatseingriffe in Gestalt von direkten Steuern und Sozialtransfers deutlich reduziert.

Personelle Wohlstandsverteilung: Äquivalenzskalen

Messziel sind letztlich gehaltvolle Aussagen über die Ungleichheit der personellen Wohlstandsverteilung. Soweit zwei oder mehr Personen in einem Haushalt zusammenleben, nutzt diese Haushaltsgemeinschaft typischerweise bestimmte unteilbare und „kollektive“ Güter (z. B. sanitäre und Kücheneinrichtung, Beleuchtung und Wärme u. ä.) gemeinsam und erzielt damit Wohlstandsgewinne (economies of scale) durch Arbeitsteilung. Diese Tatsache macht es notwendig, die Struktur des Haushalts, in dem ein Individuum lebt, zu berücksichtigen, namentlich im Hinblick auf Zahl und Alter der Haushaltsmitglieder. Diesem Zweck dient das Konzept der Äquivalenzskala (equivalence scale): Um das Wohlstandsniveau von Personen unabhängig von Größe und Zusammensetzung des Haushalts, dem sie angehören, zu beschreiben, wird das Haushaltsnettoeinkommen (NEK = Summe aus verfügbarem Erwerbs-, Kapital-, Transfer- und sonstigem Einkommen) durch sog. Bedarfsgewichte geteilt. Der Einpersonenhaushalt hat als Referenzhaushalt das Bedarfsgewicht 1,0. Gemäß der derzeit gültigen OECD-Äquivalenzskala hat jede weitere im Haushalt mitlebende Person im Alter von mindestens 14 Jahren das Bedarfsgewicht 0,5, im Alter von weniger als 14 Jahres das  Bedarfsgewicht von 0,3. Auf dieser Äquivalenzskala bekommt beispielsweise ein Haushalt, der aus einem Elternpaar mit ihrem 12-jährigen Kind besteht, den Wert 1,0 + 0,5 + 0,3 = 1,8. Verfügt dieser Haushalt über ein NEK von beispielsweise y = 30.000 Euro, dann wird jeder Person dieses Haushalts ein äquivalenzgewichtetes NEK in Höhe von = y/1,8 = 0,5 y = 16.666,67 Euro zugeordnet. Dieses Einkommen wird auch als Haushaltsnettoäquivalenzeinkommen bezeichnet.

Ist y das NEK eines Haushalts und m die Anzahl der Haushaltsmitglieder, dann stellt y = y/ms mit 0 ≤ s ≤ 1 einen einfachen Ansatz zur Berechnung des äquivalenzgewichteten NEK y jedes Haushaltsmitglieds dar. Der Parameter s gibt das Gewicht von Einsparungen infolge gemeinsamer Haushaltsführung an: Mit s = 0 ergibt sich y = y, d. h. die Haushaltsgröße wird völlig vernachlässigt, also jedem Haushaltsmitglied das gesamte Haushaltseinkommen y zugerechnet. Mit s = 1 folgt y = y/m, d. h. jedes Haushaltsmitglied erhält das Bedarfsgewicht 1 und damit 1/m von y zugerechnet. Der Wert s = 0,72 impliziert beispielsweise für einen Zweipersonenhaushalt (m = 2) ms = 20,72 = 1,65, also 1,65 y = y, d. h. verfügt ein Zweipersonenhaushalt über das 1,65-fache des NEK eines Einpersonenhaushalts, dann wird jedem der beiden Personen des Zweipersonenhaushalts dasselbe Wohlstandsniveau wie dem Individuum des Einpersonenhaushalts unterstellt.

Die – letztlich politisch zu treffende – Wahl einer bestimmten Äquivalenzskala ist keineswegs „harmlos“: Wird dem Parameter s (im Intervall [0,1]) für den gesamten Einkommensbereich ein höherer Wert gegeben, vermindert dies das Gewicht allfälliger Einsparungen gemeinsamer Haushaltsführung und senkt damit das Haushaltsnettoäquivalenzeinkommen. Bei einer – ebenfalls politisch – vorgegebenen Armutsschwelle werden dann Personen, deren NEK vorher über der Armutsschwelle lag, sich nunmehr darunter befinden, was die Zahl der als arm geltenden Personen erhöht. Zugleich vermindert eine Erhöhung von s jedoch das mittlere Äquivalenzeinkommen als Bezugsgröße der – relativ definierten – Armutsschwelle, und dieser Einfluss wirkt in Richtung einer Senkung der Zahl armer Haushalte. Wegen der einander entgegengerichteten Effekte einer Erhöhung von s muss die theoretische Analyse offenlassen, welcher Einfluss dominiert. Dies kann nur eine empirische Analyse anhand der konkret vorliegenden Einkommensverteilung herausfinden. Faik (1995) hat für die Armutsquote – das Verhältnis der Zahl der armen zur Gesamtzahl aller Haushalte – bei einer unterstellten 50 %-Armutsgrenze (bezogen auf den arithmetischen Mittelwert der Haushaltsnettoäquivalenzeinkommen) die nachstehenden Reihenfolgen jahresbezogener Einkommensarmut in der (alten) Bundesrepublik Deutschland herausgefunden: 1973 < 1969 < 1978 < 1983 für s < 0,3; und 1978 < 1973 < 1983 < 1969 für s > 0,9.

Die Einkommensungleichheit hat also -zugenommen, aber die Zunahme wurde durch Staatseingriffe in Gestalt von direkten Steuern und Sozialtransfers deutlich reduziert.

Ausblick

Im Mittelpunkt dieses Beitrags stand der Gini-Koeffizient als Maßzahl für die Ungleichheit einer bestimmten Einkommensverteilung. Andere interessante Ungleichheitsmaße, wie sie etwa von A. B. Atkinson oder H. Theil entwickelt wurden, können hier nur erwähnt werden4. Eine bestimmte Einkommensverteilung ergibt lediglich ein statisches Bild. Um die Einkommensmobilität über die Zeit zu erfassen, misst man beispielsweise die Abstiegs- bzw. Aufstiegsquote aus der Mittelschicht. Erstere bezeichnet im betrachteten Zeitraum den Anteil der Personen aus dem 2., 3. und 4. Quintil, die in das 1. Quintil abgestiegen sind, letztere den Anteil der Personen aus dem 2., 3. und 4. Quintil, die in das 5.Quintil aufgestiegen sind. Besondere Aufmerksamkeit beansprucht, inwieweit sich in einer bestimmten Einkommensverteilung und ihrer Veränderung „Armut“ ausdrückt. Diesem Thema ist ein Folgebeitrag gewidmet.

Anmerkungen

1 Dies bedeutet, dass es möglich ist, mittels regressiver Transfers (siehe Voraussetzung V4) die Einkommensverteilung Y2 in die – stärker ungleiche – Einkommensverteilung Y1 zu transformieren.

2 Hier sind, um Einkommensverteilung Y1 in Einkommensverteilung Y3 – oder umgekehrt – zu transformieren, sowohl regressive als auch progressive Transfers notwendig.

3 SOEP = Sozialökonomisches Panel des Deutschen Instituts für Wirtschaftsforschung: eine mikroökonomisch ausgerichtete jährliche Erhebung insbesondere von Einkommensdaten bei einer Stichprobe von rd. 12.000 privaten Haushalten.

4 Der interessierte Leser wird verwiesen auf Sen, A. K.: On Economic Inequality, erw. Aufl., Oxford 1997, speziell Kapitel 2.

 

Literatur

Faik, J. (1995): Äquivalenzskalen. Theoretische Erörterung, empirische Ermittlung und verteilungsbezogene Anwendung für die Bundesrepublik Deutschland. Berlin.

Sen, A. K. (1997): On Economic Inequality, erw. Aufl., Oxford.

Statistisches Bundesamt (2008): Datenreport 2008. Ein Sozialbericht für die Bundes-republik Deutschland, Bonn: Bundeszentrale für politische Bildung.

Autoren:

  • Universitätsprofessor Dr. Rupert Windisch

    Prof. em. Dr. Rupert Windisch war Studienleiter der VWA Gera. Foto: Universität Jena