Wie viele Abfrageplätze benötigt eine Notrufzentrale?

Ausgabe_4_2011_016Das Leistungsprofil einer Notrufzentrale besteht in der jederzeitigen kurzfristigen Bedienungsbereitschaft potenzieller Notrufe. Um die hierfür notwendige Präsenzkapazität sachziel- und formalzielorientiert zu optimieren, bedarf es Analysen hinsichtlich Frequenz, Dauer und zeitlicher Verteilung von Notrufen. In den folgenden Ausführungen sind elementare Modellierungsmöglichkeiten sowie prinzipielle Lösungsansätze dieses Problems dargestellt.

1. Problemstruktur

Die Bedienungselemente eines Notrufereignisses setzen sich aus Dialog und erforderlicher Disposition eines Bedienungsagenten zusammen. Die Summe der entsprechenden Zeiträume (Dialogzeitraum T1, Dispositionszeitraum T2) ergibt den Bedienungszeitraum T1 + T2, in dem der entsprechende Abfrageplatz belegt ist. Sei TB der durchschnittliche Bedienungszeitraum (z. B. 5 min bzw. 1/12 Stunde), so beschreibt der Reziprokwert des Bedienungszeitraums TB-1 = : m die Bedienrate bezogen auf eine Zeiteinheit, d. h. bei TB = 5 min. bzw. 1/12 Stunde durchschnittlichem Bedienungszeitraum liegt die durchschnittliche Bedienrate bei m = 0,2 Bedienungen pro Minute bzw. 12 Bedienungen pro Stunde. Zwischen zwei Notrufereignissen liege ein durchschnittlicher Zwischenzeitraum TZ (z. B. 10 min bzw. 1/6 Stunde). Aus dem Reziprokwert kann eine Ereignisrate TZ-1 = : l berechnet werden. Diese gibt die durchschnittliche Anzahl der Notrufereignisse pro Zeiteinheit an, d. h. bei TZ = 10 min bzw. 1/6 Stunde durchschnittlicher Zwischenzeit liegt die Ereignisrate bei l = 0,1 Notrufereignissen pro Minute bzw. sechs Notrufereignissen pro Stunde. Allgemein symbolisiert l die Anzahl von Notrufereignissen innerhalb eines Zeitintervalls [0, t]. Der Quotient zwischen Ereignisrate und Bedienrate ergibt die Arbeitslast a = l / m. Die Arbeitslast beschreibt die durchschnittliche zeitliche bedienungsmäßige Gebundenheit eines Bedienungsagenten pro Zeiteinheit. Auf Basis der angenommenen Beispieldaten ergibt sich a = 0,1/0,2 = 0,5, d. h. 50 % seiner Präsenzzeit ist der Agent mit Bedienungsstätigkeiten belegt.

2. Wahrscheinlichkeitsfunktion

Häufigkeit und Zeitpunkte des Eintretens von Notrufereignissen in einem Zeitintervall lassen sich prinzipiell durch einen stochastischen Prozess modellieren. Dabei ist davon auszugehen, dass Notrufereignisse zufällig und unabhängig voneinander eintreffen. Die Ausmaße der Bedienungszeiträume und Zwischenzeiträume sind ebenfalls zufällig und voneinander unabhängig. Als Modellierungsmöglichkeit erscheint der Poisson-Prozess (diskreter Prozess in stetiger Zeit) mit der Intensität l geeignet. Symbolisiere die Zufallsvariable X die Anzahl der in [0, t] eintretenden Notrufereignisse sowie x die tatsächliche Realisationsanzahl an Notrufereignissen. Die Wahrscheinlichkeit, dass im betrachteten Zeitintervall genau x Notrufereignisse eintreten, ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung gemäß

(1)

Heft 4_2011 Formel 1

Der Parameter l beschreibt die Anzahl der pro Zeitintervall eintretenden Notrufereignisse.

Beispiel zu (1): Es sei angenommen, dass stündlich im Durchschnitt vier Notrufereignisse eintreten: l = 4. Die Wahrscheinlichkeit für genau fünf Notrufereignisse innerhalb einer Stunde ergibt sich dann gemäß

Heft 4_2011 Formel 1

 

und für genau nur ein Notrufereignis innerhalb einer Stunde zu

Heft 4_2011 Formel 3

3. Verteilungsfunktion

Wahrscheinlichkeitsangaben für Häufigkeitsobergrenzen können mit der Verteilungsfunktion ermittelt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass im betrachteten Zeitintervall höchstens x Notrufereignisse eintreten, ergibt sich über die Verteilungsfunktion der Poisson-Verteilung gemäß:

(2)

Heft 4_2011 Formel 4

Beispiel zu (2): Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens fünf Notrufereignisse eintreten, beträgt (es gelte weiterhin l = 4):

Heft 4_2011 Formel 5

Entsprechend ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 5 Notrufereignisse eintreten, über die entsprechende Komplementärwahrscheinlichkeit zu

Heft 4_2011 Formel 6

Grafische Modellierung

Eine exemplarische zeitliche Notrufereignis- und Bedienungsstruktur zeigt Abbildung 1. Der Linienbeginn symbolisiert den Notrufereigniseintrittszeitpunkt eines bestimmten Notrufs, die Linienlänge den jeweiligen Bedienungszeitraum eines bestimmten Agenten auf einem bestimmten Abfrageplatz, der Linienabbruch das Bedienungsende.

Damit jeder Notruf unverzüglich bedient werden kann, wären z. B. bei der Zeitkonstellation in Abbildung 1 drei Abfrageplätze notwendig. Relevant für die Fixierung der Präsenzkapazität ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein weiteres oder auch mehrere Notrufereignisse zu einem Zeitpunkt vor Bedienungsende eines oder mehrere Bedienungsprozesse ereignet, mit anderen Worten um die Wahrscheinlichkeit, dass der Zwischenzeitraum zweier Notrufereigniseintritte TZ kleiner als der durchschnittliche Bedienungszeitraum TB ist. Gilt für die Notrufereignisse eine Poisson-Verteilung, so gehorchen die Notrufereigniszwischenzeiträume einer Exponentialverteilung. Die relevanten Funktionen der Exponentialverteilung werden kurz aufgeführt:

Heft 4_2011 Bedienungszeitprofil

(3) Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Heft 4_2011 Formel 7

(4) Verteilungsfunktion:

Heft 2011 Formel 8

 

(5) Erwartungswert:

Heft 4_2011 Formel 9

 

(6) Varianz:

Heft 4_2011 Formel 10

 

Beispiel zu (3): Es werde unverändert von vier Notrufereignissen pro Stunde ausgegangen (l = 4). Folglich würde im Durchschnitt alle l -1 = TZ = 0,25 Stunden ein Notrufereignis eintreten, der Erwartungswert der Zwischenzeitraumlänge liegt also bei 0,25 Stunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Notrufereignis innerhalb von x = 10 min bzw. 1/6 Stunde nach Eintritt des letzten Notrufereignisses erfolgt, ergibt sich zu. Bei Fixierung eines Zwischenzeitraums von 3 min bzw. 1/20 Stunde ergibt sich für die entsprechende Wahrscheinlichkeit eines nachfolgenden Notrufereignisses nach spätestens 3 min

Heft 4_2011 Formel 11

bzw. 1/20 Stunde ergibt sich für die entsprechende Wahrscheinlichkeit eines nachfolgenden Notrufereignisses nach spätestens 3 min bzw. 1/20 Stunde:

Heft 4_2011 Formel 12

Soll nun der Fall untersucht werden, dass nach einem erfolgten Notrufereignis bereits spätestens nach einer weiteren Minute ein weiteres Notrufereignis eintritt und nach spätestens einer weiteren Minute noch ein weiteres (dann wären bei obiger stündlicher Notruffrequenz drei Abfrageplätze notwendig, um eine unverzügliche Bedienung zu gewährleisten), ergibt sich folgende Rechnung:

Wahrscheinlichkeit für einen Notruf innerhalb einer Minute bzw. 1/60 Stunde nach erstem Notrufereignis:

Heft 4_2011 Formel 13

Wahrscheinlichkeit für einen Notruf innerhalb der zweiten Minute nach dem ersten Anrufereignis:

Heft 4_2011 Formel 14

Die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden Telefonereignisse nach dem ersten Telefonereignis eintreffen, kann wegen der Unabhängigkeit der Ereignisse durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

Heft 4_2011 Formel 15

5. Zielsystem

Die Problemlage bei Notrufereignissen erfordert deren möglichst unverzügliche Bedienung. Entsprechend ist auf Basis relevanter Daten die Präsenzkapazität (konkret die Zahl der Abfrageplätze bzw. die Zahl entsprechender Agenten) zu disponieren. Ein Maß für die zeitliche Bedienungsqualität stellt die Wartezeit W eines Notanrufers dar, deren Reduktion durch steigende Kosten begleitet wird. Die Ziele Minimierung der Wartezeit und Minimierung der Kosten stehen somit in einer konkurrierenden Beziehung. Bevor Ansätze zur optimalen Präsenzkapazität beschrieben werden, wird dargestellt, von welchen Parametern die Wartezeit eines Notanrufers abhängt. Dieses führt zur Erlang-C-Formel, auf deren Herleitung verzichtet wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass für einen Notanrufer eine Wartezeit W > 0 entsteht, hängt wie folgt von der Agentenanzahl c und der Arbeitslast a ab:

(7)

Heft 4_2011 Formel 16

Beispiel zu (7): Der durchschnittliche Bedienungszeitraum eines Agenten liege bei TB = 3 min, der durchschnittliche Notrufereigniszwischenzeitraum bei TZ = 1 min. Es seien vier Abfrageplätze installiert. Aus den Zeiträumen ergibt sich jeweils eine stündliche Bedienrate von m = 20 sowie eine stündliche Ereignisrate von l = 60. Die Arbeitslast berechnet sich zu a = 60/30 = 3, die Agentenanzahl betrage c = 4. Der Wert für die Wahrscheinlichkeit, dass für einen Notanrufer eine Wartezeit W > 0 entsteht, lautet:

Heft 4_2011 Formel 17

Mit steigender Agentenzahl reduziert sich bei gegebener Arbeitslast die Wahrscheinlichkeit für eine positive Wartezeit. Bei einer Agentenzahl von c = 6 ergibt sich eine entsprechende Wahrscheinlichkeit P(W>0) = 0,1114.

Soll eine bestimmte Wartezeitschranke t (die Wartezeit t wird nicht überschritten) explizit im Kalkül Berücksichtigung finden, so findet im Rahmen des Erlang-C-Modells folgende Formel Anwendung:

(8)

Heft 4_2011 Formel 18

Letztere gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Wartezeitschranke t (bei gegebener Agentenzahl, Arbeitslast und explizit der Bedienrate) für einen Notanrufer nicht überschritten wird.

 

Beispiel zu (8): Es werden die Zeiträume des Beispiels zu (7) angenommen. Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit eines Notanrufers bei einer Agentenzahl c = 4 den Zeitraum von 30 Sekunden nicht übersteigt. Zur Lösung ist die Bedienrate auf Sekunden zu beziehen: m = 20 pro Stunde = 20/3600 = 1/180 pro Sekunde. Somit ergibt sich:

Heft 4_2011 Formel 19

Werden sechs Agenten vorgehalten, so ergibt sich:

Heft 4_2011 Formel 20

Bei einer Fixierung der Wartezeitschranke auf 10 Sekunden ergibt sich bei einer Agentenzahl von c = 4 eine Bedienungswahrscheinlichkeit innerhalb des Sekundenintervalls [0,10] von 0,5181, bei einer Agentenzahl von c = 6 beträgt diese 0,8946.

Die Wartezeitschranke ist im Rahmen des Sachzielkatalogs adäquat zu fixieren, die zur Zielerreichung erforderliche Präsenzkapazität (Agentenanzahl) hinsichtlich ihrer Kostenkonsequenz formalzielbezogen zu reflektieren.

Heft 4_2011 Notarztwagen

6. Modell eines optimalen Personaleinsatzes

Primäres Sachziel stellt die Maximierung des Bedienungsnutzens (Q) eines Notanrufers dar. Als essenzieller Bestimmungsfaktor des Bedienungsnutzens lässt sich zum einen die Existenzwahrscheinlichkeit einer Wartezeit P(W > 0) gemäß (7) bzw. die Extension der Wartezeitschranke t gemäß (8) spezifizieren. Als Formalziel kommt das Ziel Kostenminimierung bei gegebenen Bedienungsnutzen in Betracht. Dominierende Kostendeterminante ist die Präsenzkapazität konkretisiert durch die Agentenzahl c. Folglich ist eine ökonomisch sinnvolle Relation zwischen Bedienungsnutzen und Kosten zu eruieren.

Es wird der Ansatz des Äquimarginalprinzips gewählt. Hierzu ist zunächst eine geeignete Zielfunktion zu formulieren. Die Zielvariable Z drücke die Differenz zwischen dem annahmegemäß in monetären Nutzeneinheiten messbaren Bedienungsnutzen und den Kosten aus. Bei der Wahl von P als Bestimmungsfaktor kann folgende Zielfunktion formuliert werden:

(9)

Heft 4_2011 Formel 21

Differenziation und Nullsetzung ergeben:

(10)

Heft 4_2011 Formel 22

Im Optimum ist der wahrscheinlichkeitsspezifische marginale Bedienungsnutzen (Zunahme der Wahrscheinlichkeit, dass ein Notanrufer unverzüglich bedient wird) gleich den marginalen Kosten, die durch eine entsprechende Erhöhung der Präsenzkapazität verursacht werden. Würde die Präsenzkapazität über das Optimum hinaus erhöht, so wären die Kostenzuwächse höher als die Nutzenzuwächse, die durch die entsprechend schnellere Bedienung generiert würden.

Expliziert man die Wartezeitschranke t als Determinante für den Bedienungsnutzen, so lautet die Zielfunktion:

(11)

Heft 4_2011 Formel 23

Differenziation und Nullsetzung führen zu:

(12)

Heft 4_2011 Formel 24

Im Optimum ist der wartezeitspezifische marginale Bedienungsnutzen, der sich in einer Reduktion der Wartezeitschranke konkretisiert, gleich den marginalen Kosten, die durch eine entsprechende Erhöhung der Präsenzkapazität verursacht werden. Würde die Präsenzkapazität über das Optimum hinaus erhöht, so wären die Kostenzuwächse höher als die Nutzenzuwächse, die durch eine Reduktion der Wartezeitschranke generiert würden.

Literatur:

Beichelt, F. E./Montgomery, D. C.(2003): Teubner-Taschenbuch der Stochastik, Wiesbaden 2003.

Huber, K. (2006): Optimierung der Personaleinsatzplanung in Call Centern, Diss., Passau 2006

Rinne, H. (2008): Taschenbuch der Statistik, 4. Auflage, Frankfurt 2008.

Schira, J. (2005): Statistische Methoden der VWL und BWL, 2. Auflage, München 2005.

Autoren:

  • Prof. Dr. Thomas Gerlach